“解决问题的策略”教学探想

苏教版小学数学教材从四年级起，每一册都编有一个“解决问题的策略”教学单元。解决问题的具体策略虽各不相同，特征各异，然而作为策略，它们又都具有共性之处，其教学也有共同的规律可循。本文就“倒过来推想”(五年级下册)这一策略的教学为例，谈谈对“解决问题的策略”的教学范式的探想。

一、激活策略的相关储备

“解决问题的策略”的教学是以学生已有的认知策略、学习和生活经验，以及解决问题的思路、方法、实践体验等为基础的。作为承载策略的数学思维和数学方法等，学生并非一无所有和一无所知，有许多是他们的认知储备和经验储备中已有的，或者是已知的、熟悉的和处于潜在层面的。引导学生生成解决问题的策略时，必须在问题解决之前或解决过程之中及时、准确、有效地通过适切的问题情境将它们从学生的相关储备中激活、提取出来，予以适当的“预热”，作为形成策略的基础和生长点。如对于“倒过来推想”的策略，在教学前可以这样激活和“预热”：从南通去北京的行程线路是“南通→徐州→天津→北京”，那么原路返回的线路应该是怎样的?(“北京→天津→徐州→南通”)你是怎样想的?(倒过来想的)利用学生的生活经验，凭借生活实例激活倒过来推想的思想方法，初步形成倒推策略的基本思维模式和相应的外显雏形，为进一步构建策略的基本数学模型奠基。

二、构建策略的数学模型

“解决问题的策略”的教学，通常可以预设这样的生成过程：1．让学生面临问题情境，分析问题，运用数学思想方法进行数学思考，在问题的给定状态与目标状态之间形成一定的联结，萌生解决问题的策略性思路，提出解决问题的假设；2．演绎解决问题的思路，检验解决问题的假设，解决问题；3．回溯分析问题、提出解决问题的假设、检验假设解决问题的过程，交流从中领略到的关于策略的形成过程、策略的本质内涵及策略的价值作用等方面的具体体验和感想等；4．策略的归纳、概括与表述。以上过程，无论是学生“解决问题的策略”的萌发、生成，还是对“解决问题的策略”本质内涵的理解、领悟，以及策略的归纳、概括与表述，都是以具体的问题情境、解决问题的具体过程(一定的策略外显形式)为依托和支持的。显然，策略作为解决问题的计策和谋略，它是隐于内的，必须通过具体可感的载体，由详实的过程、形式、内容来演绎。这个具 体可感的、详实的过程、形式及内容的核心，应该就是策略的数学模型了。从这一意义上说，“解决问题的策略”的教学，关键在于与策略相应的数学模型的构建。教学中可以在学生已有的“生活经验模型”的基础上，从分析和处理生活问题的道理(事理)和方式、方法，逐步迁移、类推、衍化，生成数学问题解决策略的原理和模式，启发构建与策略相应的数学模型。如在学生已有的倒过来推想的“生活经验模型”的基础上构建倒 过来推想的基本数学模型：



（6＋4）×5÷2－8=17

虽然无法让学生像表征知识那样去表征解决问题的具体策略，但教学中可以借助某种数学模型，在学生头脑中形成相应的图式。当策略的有关信息能为学生以图式的方式表征时，不仅有利于促进和深化学生对策略内涵的领悟，而且将大大提高其应用时激活与提取的速度。

三、策略模型的数学演化

策略的数学模型的建立，为学生运用策略解决数学问题提供了数学思考、数学操作的基础和依据。然而学生在一般情况下(尤其将来生活中)所面临的问题，常常是以生活和生产中的实际问题为主的，不可能都是(更不会是纯粹的)数学问题。因此，学生在运用策略的数学模型解决实际问题的过程中．必然要经历一个将实际问题演变、转化为数学问题的数学化过程，这是学生学习活动中的一个难点，也是直接关系到能否顺利地运用策略解决问题的关键。通常可以采用根据题意摘录条件，按事情发展的顺序画出示意图的方法，去抓住关键，突破难点。如：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。小明原来有邮票多少张?(苏教版《数学》五年级下册P89例题)可以画出以下示意图：



比较甲乙两幅示意图，容易看出图乙是经过数学化处理的示意图，根据它所呈现的问题情境，学生再应用倒过来推想的数学模型解决问题应该就水到渠成了。



值得注意的是，画出的示意图最好是像图乙那样经过数学化处理的数学示意图。因而，画图时要注意启发学生将生活语言数学化，并将数学语言符号化。如：收集了24张(生活语言)→增加24张(数学语言)→+24(符号化的数学语言)。

四、策略模型的变式体验

策略作为解决问题的计策和谋略，上位于方法，从一定意义上讲，它是一类方法的统领和总括。策略又具有较强的主观性，需要领悟策略的主体在特定的问题情境中经历一定的思索、顿悟和探究过程，感受、体验后才能得以清晰。“解决问题的策略”作为数学思想方法的运用，客观上，它的数学演绎形式和方法多种多样；主观上，不同的学生对策略数学模型的建构不同，表征策略的认知图式不同，对策略的具体演绎就会不 同。如：对于上例，学生除画出以上甲乙两种示意图解决问题以外，还有下面两种演绎：



显然，丙的演绎要比乙简约得多，丁是先整体考虑变化趋势，看总体上是增加了还是减少了，增或减了多少，然后再去倒推。

策略教学中必须设法让学生经历、体验、交流策略演绎的多种形式、方法和过程，感悟策略的丰富内涵和本质特征，逐步从拥有策略走向灵活地应用策略并创造性地使用策略。如：在学生初步构建了倒过来推想的数学模型后让学生解决这样的实际问题：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小聚原来有多少张画片？生灵活地运用和创造策略的机会。



对“拿出一半还多1张，自己还剩25张”，A演绎为“先‘÷2’；再‘－1’，自己还剩25张”，B演绎为“‘÷2’后自己还剩(25+1)张”，这些变式演绎恰当、准确、到位，对于学生来讲，都不能不说是在运用策略上的一种创造。

五、策略特质的反刍归纳

作为“解决问题的策略”的教学，需要涵盖的面较广、内容较多。如倒过来推想的策略，不仅要使学生知晓什么是倒过来推想、怎样去倒过来推想、倒过来推想时要注意些什么，还要知道为什么要倒过来推想、面临怎样的问题时可用倒过来推想的策略解决，以及倒过来推想的独特价值与特殊作用等。如此这些，既要及早启发学生在生成策略解决问题之中感受、体验，更要及时引导学生在初用策略解决问题之后通过回溯来体味、领悟。不仅要给予独立反刍的时间和空间，而且要给予充分的交流和合作的机会，在交流中碰撞思维，再度生成对策略的多重感受，在合作中整合智慧，深化对策略共性的感悟，在交流与合作中完成对策略特质的归纳与概括和对策略价值认识的升华。

以上“激活策略的相关储备→构建策略的数学模型→策略模型的数学演化→策略模型的变式体验→策略特质的反刍归纳”，这只是笔者对“解决问题的策略”教学范式的一种探想，它并非就是一种标准或理想的范式。常言道：教学有法，但无定法。教学范式的探索应以教学目标的达成为起点与归宿。“解决问题的策略”的教学，其目标的价值取向，不仅在于让学生学会如何运用某种策略解决某个具体问题，还在于通过具体问题的解决，让学生体味策略与问题情境所具有的特殊的联系与对应关系，感悟策略的基本内涵和基本特点，积累 运用策略解决问题的经验，并从中领略策略的独特作用和特 殊价值，增进对策略的积极情感，养成解决问题的策略意识。